1983-ban született az oroszországi Jekatyerinburgban. Karmesteri diplomáit az Uráli Muszorgszkij Állami Konzervatóriumban (2008, kitüntetéssel) és a moszkvai Csajkovszkij Állami Konzervatóriumban (2011, kitüntetéssel) szerezte, ahol a legendás professzor, Gennagyij Rozsgyesztvenszkij volt a tanára. Posztgraduális tanulmányait 2016-ban fejezte be, szintén a moszkvai konzervatóriumban, Rozsgyesztvenszkij professzor irányításával.

Karmesteri felkészültségét a következő karmesterversenyeken bizonyította:

Harmadik Összorosz Ilja Musin Karmesterverseny

(Kosztroma, Oroszország, 2013 – Nagydíj és a Közönség különdíja)

Első Nemzetközi Felix Mendelssohn Karmesterverseny

(Szaloniki, Görögország, 2016 – Első díj)

Diplomás karmesterként 2009-ben kezdte pályafutását, amikor a moszkvai „Globalis” Nemzetközi Szimfonikus Zenekar vendégkarmestere lett. Ezzel egy időben a jekatyerinburgi Uráli Muszorgszkij Állami Konzervatórium szimfonikus zenekaránál (UÁK Muszorgszkij Szimfonikus Zenekar) vezető karmesteri és művészeti igazgatói pozíciót töltött be. Vezető karmesterként több mint negyven koncerten vezényelt, és számos, többek között Rahmanyinov, Liszt, Csajkovszkij, Scsedrin, Vladiszlav Zolorarjov tiszteletére rendezett fesztiválon is közreműködött. Mihail Tarivergyijev 2. hegedűversenyének ősbemutatójára az Uráli Muszorgszkij Állami Konzervatórium Nagytermében került sor, 2011 decemberében, Anton Saburov vezényletével, Graf Murzsa játszott szólóhegedűn.                      

2016 augusztusában az USC Muszorgszkij Szimfonikus Zenekara Anton Saburov irányításával hatalmas sikert aratott a berlini Konzerthausban tartott Young Euro Classic 2016 elnevezésű fesztiválon. Az orosz szerzők műveiből összeállított programban Muszorgszkij „Éj a kopár hegyen” című darabja is szerepelt, Rimszkij-Korszakov „Nagy orosz húsvét” nyitánya mellett. Ekkor hangzott el Jurij Abdokov „Korál postludium brácsára és zenekarra” című műve is. Miután elhangzott Csajkovszkij hatodik, „Pathetique” szimfóniája, a zenekart felállva ünnepelte a közönség az egyik legrangosabb európai koncertteremben. Ezt az előadást a német és orosz zenei sajtó is nagyon melegen üdvözölte.  

2016 decemberében Anton Saburovot vezető karmesternek és zenei vezetőnek választotta a Távol-keleti Szimfonikus Zenekar (Habarovszk, Oroszország). Hivatalosan 2017 szeptemberében veszi kezdetét a munkája ebben a pozícióban.  

Anton Saburov 2010-ben debütált az opera műfajában: Puccini „Gianni Schicchi” c. műve bemutatójának zenei vezetője volt az Uráli Állami Muszorgszkij Konzervatórium operájában. 

A bemutató nagyon jó kritikákat kapott, és így vált lehetővé, hogy Anton Saburov megkapja Szverdlovszk régió kormányzójának díját „Kiemelkedő eredményekért az irodalom és művészetek terén”. 

Az Uráli Állami Muszorgszkij Konzervatórium operájában végzett munkája során zenei vezetője volt olyan produkcióknak, amelyek Orff „Az okos lány”, Sztravinszkij „Mavra” és „A csalogány”, Csajkovszkij „Anyegin” és Rimszkij-Korszakov „Vera Seloga bojárnő” c. műveiből készültek.

Anton Saburov 2011-ben meghívást kapott az Uráli Állami Operaháztól, hogy Pavel Kilincsev segítségére legyen a Rossini „Ory grófja” c. művéből készült produkcióban. 

 Később számos balett karmestereként is szerepelt, beleértve többek közt a Hattyúk tavát Csajkovszkijtól, Scsedrin-Bizet Carmen-szvitjét, Amirov Ezeregyéjszakáját és Rimszkij-Korszakov Seherezádéját. 

 Vendég karmesterként fellépett a MÁV Szimfonikus Zenekarral, az Uráli Filharmonikus Zenekarral, a Berlini Ifjúsági Szimfonikus Zenekarral, a Plovdivi Filharmonikus Zenekarral, a Magna Grecia Szimfonikus Zenekarral, a Kazah Nemzeti Szimfonikus Zenekarral és többek között Rosztov-na-Donu, Kiszlovodszk, Kirov, Izsevszk, Szamara, Omszk, Habarovszk, Kemerovo filharmonikus zenekaraival.

Anton Saburov egyetemi docensi címmel rendelkezik Jekatyerinburgban (Uráli Állami Muszorgszkij Konzervatórium), ahol saját karmesteri osztályát vezeti. 

2017 fénypontjai között szerepel amerikai bemutatkozása a Dél-arizonai Szimfonikus Zenekarral, debütálása a német opera terén a magdeburgi színházban, valamint közös fellépések a Danubia Szimfonikus Zenekarral, a Szaloniki Szimfonikus Zenekarral és az „I Solisti Aquilani” kamarazenekarral.